Statistische Maßzahlen: Mittelwerte & Streuung
Bevor Daten verdichtet werden können, muss die Skalenart des Merkmals bekannt sein: Nominalskalen erfassen reine Eigenschaften ohne Rangfolge (z. B. Pkw-Marke), Ordinalskalen erfassen eine Rangfolge ohne messbare Abstände (z. B. Schulnoten), metrische Skalen erlauben Abstände und Verhältnisse (z. B. Umsatz, Alter).
Aus der ungeordneten Urliste werden zunächst Häufigkeiten gebildet (absolut, relativ, kumuliert) – das schafft Übersicht, ist aber noch keine Verdichtung auf einen einzigen Vergleichswert. Dafür gibt es Mittelwerte:
- Zentralwert (Median) – der mittlere Wert einer geordneten Reihe; robust gegenüber Extremwerten, daher z. B. Basis des Medianeinkommens
- Modalwert – der häufigste Wert; sinnvoll bei technischen Messungen oder wenn „der typische Fall“ gefragt ist
- Arithmetisches Mittel – Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl; bei Häufigkeitstabellen als gewogenes arithmetisches Mittel (jeder Wert mit seiner Häufigkeit gewichtet)
- Geometrisches Mittel – einzig korrekter Mittelwert für Wachstumsraten (z. B. durchschnittliches jährliches Umsatzwachstum); das arithmetische Mittel würde Wachstumsraten falsch verdichten
Ein Mittelwert allein kann täuschen. Deshalb ergänzt man Streuungsmaße:
| Maß | Aussage |
|---|---|
| Spannweite | Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert |
| Mittlerer Quartilsabstand | Differenz zwischen 3. und 1. Quartil, robust gegenüber Extremwerten |
| Standardabweichung | Wie eng gruppieren sich die Werte um den Mittelwert? Je kleiner, desto repräsentativer der Mittelwert |
Prüfungsrelevante Inhalte
Die Kernaussagen dieses Themas findest du in der Erklärung oben sowie im Merksatz, Fallbeispiel und der IHK-Prüfungsfrage in den Phasen unten. Detaillierte Formeln, Definitionen und Rechenwege werden schrittweise ergänzt.
Der Median teilt die Reihe, das arithmetische Mittel rechnet sie zusammen, das geometrische Mittel beschreibt ihr Wachstum.
Tipps zum Merken: Laut aussprechen, mit eigenen Worten umformulieren, oder in Stichworten notieren.
Dieses Fallbeispiel bezieht sich auf dein Unternehmen.
Fallbeispiel
Die Personalabteilung der KELLER Antriebstechnik GmbH hat die Bruttostundenlöhne von 180 Lohnempfängern in sechs Lohngruppen erfasst und möchte einen Vergleichswert für Tarifverhandlungen ermitteln.
Aufgabe
Welcher Mittelwert ist hier sachlich richtig zu berechnen, und warum nicht einfach der Modalwert?
Musterlösung ansehen
Da die Löhne in einer Häufigkeitstabelle (Lohnhöhe mit Anzahl der Beschäftigten je Gruppe) vorliegen, ist der gewogene arithmetische Mittelwert zu berechnen: Jede Lohnhöhe wird mit der Anzahl der zugehörigen Beschäftigten gewichtet, die Summe durch die Gesamtzahl der Beschäftigten geteilt. Der Modalwert (häufigster Lohn) wäre hier irreführend, da er nur die größte Gruppe abbildet und nicht alle 180 Werte einbezieht – für Tarifverhandlungen zählt aber der repräsentative Durchschnitt über alle Beschäftigten.
Wie in der echten schriftlichen Prüfung
Die KELLER Antriebstechnik GmbH ist zusätzlich von 2019 bis 2024 jährlich gewachsen, allerdings mit schwankenden Raten. Der Umsatz stieg von 40,0 Mio. € auf 53,6 Mio. €. a) Welcher Mittelwert ist geeignet, um die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate zu bestimmen? Begründen Sie. b) Nennen Sie zwei Skalenarten, denen die Merkmale „Lohngruppe" (1 bis 6) und „Bruttostundenlohn in €" jeweils zuzuordnen sind, und begründen Sie kurz. c) Welches Streuungsmaß würden Sie zusätzlich zum Mittelwert angeben, um die Homogenität der Löhne zu beurteilen, und warum reicht der Mittelwert allein nicht aus?
Lösungsweg ansehen
- a) Der geometrische Mittelwert, da es sich um die Verdichtung eines Wachstumsprozesses (Veränderungsraten) und nicht um die Verdichtung einzelner Größen handelt. Berechnung über den Wachstumsfaktor pro Jahr, n-te Wurzel aus dem Produkt aller Wachstumsfaktoren.
- b) „Lohngruppe" ist ordinalskaliert (natürliche Rangfolge 1 bis 6, aber die Abstände zwischen den Gruppen sind nicht notwendigerweise gleich groß). „Bruttostundenlohn in €" ist metrisch (verhältnis-)skaliert, da ein absoluter Nullpunkt existiert und Verhältnisse gebildet werden können (10 €/Std. ist doppelt so viel wie 5 €/Std.).
- c) Die Standardabweichung, da sie angibt, wie eng die Einzelwerte um den Mittelwert streuen. Der Mittelwert allein zeigt nur die zentrale Tendenz, sagt aber nichts darüber aus, ob die Löhne nah beieinanderliegen oder stark auseinanderdriften – zwei Belegschaften mit gleichem Durchschnittslohn können völlig unterschiedlich homogen bezahlt sein.
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